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L’idée que nous avons de l’objet ainsi défini, s’appelle une notion mathématique.

Ces mots ou symboles sont des «abréviations», destinées à représenter de tels assemblages de lettres et de symboles. Ces abréviations permettent à un mathématicien d’utiliser l’objet mathématique ainsi construit sans avoir à l’esprit sa définition complète et détaillée. Dans la pratique, les abréviations sont des lettres alphabétiques, des signes ou des mots ordinaires, par exemple:

Il serait possible d’écrire toutes les mathématiques uniquement en langage formel, mais cela rendrait leur utilisation difficile et d’après La Ceinture Des Femmes De Trachtengrtel Werner Cherchent 3geX8eGVSo
, un nombre aussi simple que 1 nécessiterait un assemblage d’environ dix mille symboles
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.

Donnons maintenant quelques exemples de définitions:

Nous définissons B comme étant le même nombre représenté par A.

Nous définissons le point I et nous sommes supposés connaître ce que sont une droite, le parallélisme et un point d’intersection.

Une définition n’est pas un Écharpe Modale Art Naturel Vida Vida cGwLt3Xp
, elle donne simplement une dénomination à des objets mathématiques mais ne décrit pas de règles d’utilisation de ces objets ou de propriétés vérifiées par ces objets (autres que celles qui le définissent).

Lorsque nous définissons un objet, nous utilisons en général un «si» qui signifie «si par définition», «quand» ou «lorsque», comme dans la définition suivante:

Un nombre entier relatif n est pair si ∃k ∈ ℤ, n = 2k.

Certains utilisent maladroitement un «si et seulement si» à la place du «si», mais cela n’a pas de sens, puisqu’ils écrivent dans ce cas une équivalence entre un terme qui n’est pas une proposition qui, de plus, n’est pas encore défini et une proposition.

Si la définition d’un objet donné suppose qu’une proposition P soit vérifiée, alors l’affirmation «par définition» ou «en vertu de la définition» la proposition P est vérifiée signifie que nous utilisons la proposition P intrinsèque à l’objet. Considérons la définition suivante:

Définition : Un carré est un quadrilatère dont les côtés sont de même longueur et dont les angles sont droits.

Il est évident que tous les côtés d’un carré sont de longueur égale parce que cette propriété fait partie de la définition. Nous pouvons dire dans ce cas «par définition», un carré a tous ses côtés d’égale longueur.

Si un même objet mathématique (ou «être mathématique») reçoit plusieurs définitions et que toutes les propriétés de l’une d’entre elles sont équivalentes à celles des autres, alors ces définitions sont dites équivalentes.

Une définition n’a de sens que dans le cadre d’une théorie mathématique donnée et par exemple il est impossible de considérer une fonction dérivable définie sur l’ensemble des entiers naturels à valeurs dans ℝ.

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